皇冠hg86a

图片

在深入探索数学的拓扑与分析范畴时，咱们通常遭受到一些主见，它们既具有真切的形而上学意念念，又在实验行使中有着不可或缺的地位。紧致性便是这样的主见之一。尽管它当先的界说浅薄、直不雅——在欧几里得空间中，一个聚集既闭又有界——但紧致性的魔力远非此所能涵盖。当咱们跳出欧几里得空间的畛域，探入更浩瀚、更详尽的拓扑空间，紧致性展现出其深千里的面庞。它与序列的极限、贯串函数的性质、以至是高等的微分几何和代数结构良好连结。

假定给你一个有界的x轴线段，举例从0到1的开区间，是以总共的实数齐严格地位于0和1之间，但不包括0和1自身。

图片

你能在开区间（0,1）上画出一个莫得有限最大值的贯串函数的图吗？

好多通例类型的弧线齐不稳定要求，如正（余）弦函数、幂函数等。但有一个函数你应该不错猜想：y=1/x。

图片

它的图形在x=0处酿成一个垂直渐近线，这意味着当x接近0时，图形的高度会无限增长。因此，它莫得有限的最大值。

但如果我要求图形实验上波及x=0和x=1呢？也便是说，图形实验上必须包含一个x坐标为0的点和一个x坐标为1的点，是以不成有渐近线或开区间，但它仍然需淌若一条贯串的弧线。你刻下能画出这样的函数弧线吗？

试图在某个方位诞生一个渐近线似乎可行，

图片

但不管你把渐近线放在那处，齐会导致不贯串性。是以似乎只可在图上确实地设定一个最高点和最低点？

这样的问题是紧致性（compactness）主见不错匡助管制的问题。它是拓扑学（Topology）和分析（Analysis）中最关键的主见之一，第一次了解它时，你可能会嗅觉有点深邃。那么，什么是紧致性？为什么它在当代数学中如斯基础？

崇拜的界说

紧致性是形状的性质，大概更准确地说，是某种空间中的点集的性质。紧致性的一个卓著圭臬的界说是这样的：“如果K的每一个开遮蔽齐有一个有限的子遮蔽，那么一个拓扑（或度规）空间的子集K就被称为'紧致的'。"

刻下，让咱们“剖解”这个界说。开端，它提到了一个“拓扑”或“度规”空间。那是什么？

拓扑

在拓扑学中总共的形状、弧线等齐被看作是一个点的聚集。而任何点集S齐将其所在的空间远隔为其他三个聚集：S的里面、S的外部和S的畛域。

图片

关节要珍贵的是，一个聚集可能包括也可能不包括它的畛域，大概以至只包括它的部分畛域。包含总共畛域的聚集称为集”，不包含其畛域的聚集称为”开集"，只包括其部分畛域的聚集则莫得特定的称号。

揭开紧致性的界说

回到界说，不深入细节，一个“拓扑”或“度规”空间仅仅一个空间，其中像开（open）、闭（closed）、里面（interior）、外部（exterior）、畛域（boundary）等主见成心念念。在沟通紧致性时，需要珍贵的关键聚集是开集（open sets）。

图片

这些聚集只包括里面点，这很关键。这导致了界说的下一部分：开遮蔽（open cover）。一个聚集的开遮蔽是一组开集，它们共同遮蔽想法聚集。不错是有限个，也不错是无限个，况兼单个的大小不错任性。

图片

"子遮蔽"仅仅这些洞开集的一个子聚集，但仍然不错遮蔽想法集。原始的遮蔽自身亦然其子遮蔽之一。

因此，一个"紧致"的聚集是一个非凡的聚集，关于任何可能是无限的开聚集的组合，只须你用它（无限开聚集的组合）来遮蔽这个聚集（紧致集），你老是不错采取一个有限的子聚集（无限开聚集的组合的子集）来遮蔽这个聚集。

图片

图片

为了形象化地领路这少许：联想你有一个橡皮泥形状，你不错用一些小的圆形模具（开集）来遮蔽它。即使你不错用多数多个小的圆形模具来遮蔽橡皮泥，但如果橡皮泥形状是“紧凑”的，那么总会有一种设施，只用有限多的这些模具（可能只需要10个，或20个），仍然不错实足遮蔽总共这个词橡皮泥形状。

珍贵，这并不等同于说这个聚集不错被有限个开聚集所遮蔽。

图片

事实上，总共的聚集齐是如斯：只需采取一个有余大的开集来遮蔽它。大概，如果它是一个无界集，只需使用总共这个词空间自身，它也被以为是一个开集。

这里说的是更微妙的东西：它说，如果你给我一个可能特别复杂的开集的组合来遮蔽紧致的聚集，我老是不错只使用你给我的有限个开集来遮蔽这个聚集。大概换句话说，任何无限的开集的组合，如果它们沿途遮蔽了一个紧致的聚集，你老是不错使用一个有限的子集来遮蔽它。这便是紧致聚集的全部。

但即便如斯，刻下还不太明晰哪种聚集会顺应这个形容。更进一阵势说，为什么具有这种属性的聚集会这样意念念或关键呢？

是以让咱们望望是否不错更直不雅地了解这些聚集是什么样的，以及它们不错作念什么。

紧致聚集看起来像什么？

最浅薄的紧致聚集仅仅一个有限集：一个由有限多个点构成的聚集。

图片

因为如果我用开集团遮蔽一个有限点的聚集，我不错逐点采取一个包含该点的开集。临了，我至多为每个点采取了一个聚集，尽管实验上可能更少，因为采取的一些开集可能遮蔽了多个点。

这实验上特别接近紧致性的中枢：为拓扑想法，紧致集“模拟”有限集，也便是说，某些在有限集上使用的手段或技能也适用于紧凑集。这稍后再说。

图片

除了有限聚集，你可能开端战争到的紧致集的例子是实数线上的阻塞和有界集。是以著述起原的阻塞区间[0,1]便是一个紧致集的例子。

实数的阻塞和有界集是紧致的这一事实被称为Heine-Borel定理，是分析中的一个基本效果。这解释起来需要一些手段，这里不展示了。刻下，转向紧致性的另一种形容——序列紧致性（Sequential compactness）。

序列紧致性

为了领路它，请看底下一个点的序列。

图片

把柄序列的不同，它可能会或可能不会趋近于一个极限点。

如果它不拘谨，它可能通过发散到无限大或立时散布。如果它拘谨，则不错通过采取性地忽略序列中的某些点来索求出一个拘谨序列。

看一个例子：

图片

它只在0和1之间轮流。这个序列是发散的，因为它从来莫得趋近于0或1。

但如果咱们采取性地忽略1（或1），将会得到只好0（或1）的序列，显着它们趋近于0（或1）。

图片

这是一个顶点的例子，但更普随地说，如果有一个发散的序列，但尽管如斯，在某些方位酿成“群集（clusters）”，

图片

那么通过有采取地扔掉不在群权衡的点，索求出一个拘谨的序列

图片

称之为拘谨子序列（Convergent subsequence）。

回到紧致性，事实解释，一个聚集K是紧致的，当且仅当该聚集内的每一个点的序列齐有一个子序列趋近于该聚集K内的一个点。也便是说，紧致集是一个聚集，它迫使其里面的任何点的序列在紧致集内酿成群集，并趋近于一个点。

图片

这被称为“序列紧致性（Sequential compactness）”，它与圭臬的紧致性主见是等价的，除了在某些不常见的拓扑空间中。

从这个新的视角起程，咱们不错通过规齐整个聚集不成成为序列紧致的不同面孔，来直不雅地念念考紧致聚集，大概换句话说，奋勉子序列拘谨的不同面孔。

最浅薄的设施是让原始序列趋向于无限大。

图片

然后任何子序列也将趋向于无限大，

图片

这意味着包含这样的序列的任何聚集齐不会是紧致的。是以一个紧致聚集的第一个要求是它应该是有界的：它不成无限蔓延。

图片

奋勉序列有一个拘谨子序列的第二种设施是让它接近聚集中的一个“孔”或“缺失点”，

图片

这不错是聚集的里面的一个破绽，大概是一个缺失的畛域。那么每一个子序列也将接近阿谁孔，况兼将拘谨失败。是以一个聚集是紧凑的第二个要求是它不应该有这样的缺失点。它应该是“齐全的”。

刻下，仍是有了有界性和齐全性的两个要求。还有第三种，为了看到它，咱们需要一个无限维的空间。

想一下这个问题：一个二维空间中的任何点齐不错用两个数字形容：x和y。一样，三维空间中的一个点不错用三个数字形容：x, y和z。是以一个无限维空间中的点不错用一个无限的数字列表形容：

图片

为了简化这个例子，我会收尾这个空间只包括临了以一连串的零收场的列表，

图片

沟通这样的点序列，

图片

实验上是列表：每个列表只包含一个1，其余的齐是零，序列中的第n个列表在第n个位置有一个1。

这个列表的序列是有界的：它们齐距离零列表的距离是1，

图片

但它并不拘谨：这个列表的序列不接近任何列表。你可能会以为它拘谨到零列表，因为在列表中的任何特定位置最终齐会变成零，但从隧谈的拓扑学的角度来看，它并不接近零列表，因为序列中的每一个列表齐距离零列表1的距离。

当然地，任何子序列齐一样。实验上，有一个点序列，它赓续断地探索无限维空间的总共无限多的坐标轴，同期老是保握与原点的固定距离。是以它通过某种面孔幸免了接近任何东西，穿越了无限的维度。这听起来像是科幻演义，但这是确实的数学。

咱们需要在一个聚集上施加的收尾来奋勉这种情况被称为“实足有界性（Total Boundness）”，它基本上说的是，

此次会议由ANSO主席白春礼院士，中国科学院青藏高原研究所所长、ATES主席陈发虎院士，世界气象组织首席科学家Jürg Luterbacher，国际地理联合会主席Michael Meadows担纲联合主席。陈发虎院士主持会议开幕式并致辞，白春礼院士、兰州大学校长严纯华院士、中国科学院国际合作局局长刘卫东、中国地理学会秘书长张国友、匈牙利科学院副院长Ferenc Hudecz、联合国教科文组织驻华代表处主任Shahbaz Khan等分别在现场或以视频方式致辞。

度规空间中的聚集S是实足有界的，如果关于任性给定的ε > 0: S不错被有限多个半径为ε的球所遮蔽。

在咱们练习的有限维度欧几里得空间中，这与无为的有界性是一样的，因为任何有界的图形齐不错用任何固定大小的有限多个球来遮蔽，不管它们有多小。

关于无限维聚集，情况并非如斯，因为（举例）如果我用半径为1/4的球包围序列中的每一个点，总共的球齐会相互分离，因为序列中的每一个列表齐距离每一个其他列表的距离齐提升1/2。

图片

是以，这序列所存在的聚集不是实足有界的。

当确保了实足有界性后，咱们终于有了确保聚集中的每个序列齐有一个拘谨的子序列的要求，也便是说，这个聚集是紧致的。因为有一个定理施展，一个聚集是紧致的，当且仅当它是齐全的况兼实足有界的。

这是我直不雅地念念考紧致性的面孔：一个聚集是紧凑的，当它有余小且有余“实心”，以至于聚集内的序列无法逃到无限远，逃入一个孔或边际，或通过无限的维度逃走。

在咱们熟知的有限维欧几里得空间中，这正值对应于那些阻塞和有界的聚集，然而正如咱们所看到的，关于更为奇特的空间来说，这并不老是有余的。

这便是我直不雅地看待紧致集的面孔，但即便如斯，为什么这样的聚集关于分析和拓扑学如斯关键呢？它们让咱们能作念什么？刻下让咱们来探讨一下。

紧致集有何用？

紧致集之是以好，主淌若因为它们通常提供一种设施，不错获得在聚集上局部设立的属性，并将其彭胀行使到总共这个词聚集上。让咱们来看一个例子。

图片

还谨记著述起原的阿谁困难吗？找到一个在闭区间[0,1]上的贯串函数，但它莫得最大值？事实解释，这照实是不可能的，这归结为闭区间[0,1]是紧致的。在紧致集上界说的每个贯串函数齐会达到最大值和最小值。这个事实被称为极值定理（Extreme Value Theorem）。为了展示紧致性在其中饰演的关节脚色，咱们将解释它的一个稍许弱少许的版块：界说在紧致集上的任何贯串函数齐是有界的，这意味着函数的输出既有有限的上界也有有限的下界，但咱们不要求函数实验上达到这些界限。

图片

为了具体化，咱们沟通阿谁紧致集是闭区间[0,1]。

开端，沟通区间[0,1]中的任性实数x。由于函数f是贯串的，这意味着x的小变化会导致f(x)的相对小的变化。

图片

事实上，如果将x的变化收尾在一个有余小的区间内，称之为“δ区间”，我不错使函数的输出值，f(x)，保握在某些范围内，比如说，距离它原本的方位0.1的距离。

图片

是以，从骨子上讲，我界说了x周围的一个洞开区间，在行使f后，该区间的函数图收尾在输出空间的有界区间内。

图片

换句话说，f在x周围是局部有界的。

你能看出这要抒发什么吗？咱们不错围绕界说域中的每一个点x构建一个这样的小δ区间，从而可能地遮蔽总共这个词[0,1]的多数个δ区间。

图片

图片

然而，因为[0,1]是紧致的，这意味着会过度遮蔽，是以不错减少到仍然遮蔽[0,1]的这些δ区间的有限子集。但由于f在每一个剩下的δ区间上齐是有界的，况兼这样的δ区间只好有限多个，是以f必须有一个有限的合座上界：只需取总共剩下的δ区间中f的最高上界。一样地，不错找到一个有限的合座下界。因此，f在总共这个词区间[0,1]上齐是有界的。咱们仍是将局部有界性升沉为全局有界性。

但请珍贵，如果界说域不是紧致的，这个解释就会领会，比如在开区间（0,1）上。

图片

如果咱们尝试在函数f(x)=1/x上使用调换的手段，会发现，当x值越来越接近x=0时，为了保握调换的y上的局部界限，δ区间会变得越来越细（因为函数在那里特别陡峻）。不需要x的太多变化，y就会超出咱们采取的最大值。在这里，咱们无法减少到这些δ区间的有限子集，因为为了遮蔽到x=0，需要无限多的它们，因为它们会在越来越接近x=0的方位变得越来越窄。如果有无限多的δ区间，就不成保证有一个δ区间为函数f提供最高可能的上界，而关于函数1/x来说，确定莫得。

在高等数学中欧博百家乐，你会一次又一次地遇到这个主见，它时常是许多强劲结构的关键构成部分，如函数空间——在这里，函数不错被视为无限维向量来规划。当代数学的很大一部分齐是建设在紧致性上的。